4221

Номер задачи
#4221
Сообщения
12
Реакции
0
Вычислить следующий криволинейный интеграл 1-го рода
[math]\int\limits_C(x+y)ds,[/math]где [imath]С[/imath] - контур треугольника с вершинами [imath]O(0,0), A(1,0), B(0,1)[/imath].
Кривая, вдоль которой мы интегрируем, представляет треугольник. Поэтому требуется разбить этот интеграл на три обычных [imath]I=I_1+I_2+I_3[/imath]. Первый из низ равен интегралу по оси абсцисс от 0 д 1.[math]I_1=\int\limits_0^1xdx=\left. \frac{x^2}{2}\right|_0^1=\frac{1}{2}[/math]Аналогично вычислим второй интеграл по оси ординат. [math]I_2=\int\limits_0^1ydy=\left. \frac{y^2}{2} \right|_0^1=\frac{1}{2}[/math]Третий интеграл нужно взять по прямой между точками [imath]A[/imath] и [imath]B[/imath]. Данная прямая равна биссектрисе первого и третьего координатных квадрантов поднятой на одну единицу: [imath]y=-x+1[/imath]. Введем параметризацию [imath]x=t, y=-t+1, dl=\sqrt{[(t)']^2+[(-t+1)']^2}dt[/imath]. Таким образом:[math]\int\limits_0^1(t-t+1)\sqrt{1^2+(-1)^2}dt=\sqrt{2}[/math]В итоге сумма трех интегралов: [imath]I_1+I_2+I+3=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{2}=1+\sqrt{2}[/imath]
Ответ: [imath]1+\sqrt{2}[/imath]
 
Сверху