4277

Номер задачи
#4277
Сообщения
13
Реакции
0
Доказать, что для криволинейного интеграла справедлива следующая оценка:[math]\left| \int\limits_CPdx+Qdy\right|\le LM,[/math] где [imath]L[/imath]- длина пути интеграции и [imath]M=max\sqrt{P^2+Q^2}[/imath] на дуге [imath]С[/imath]
Известно, что существует связь между криволинейными интегралами обоих типов:[math]\int\limits_CPdx+Qdy=\int\limits_CP(\cos\alpha+Q\sin\alpha)ds[/math]Таким образом: [math]\left|\int\limits_CPdx+Qdy\right|=\left|\int\limits_C(P\cos\alpha+Q\sin\alpha)ds\right|\le \int\limits_C \left|(P\cos\alpha+Q\sin\alpha)\right|ds[/math]Требуется провести оценку следующего выражения:[imath]|P\cos\alpha+Q\sin\alpha|[/imath]. Сначала, оценим квадрат данного выражения.
[math](P\cos\alpha+Q\sin\alpha)^2=P\cos^2\alpha+2PQ\cos\alpha\sin\alpha+Q^2\sin^2\alpha\ge0 \\(P\sin\alpha-Q\cos\alpha)^2=P\sin^2\alpha-2PQ\cos\alpha\sin\alpha+Q^2\cos^2\alpha\ge0[/math]Сложим данные выражения, получим: [math](P\cos\alpha+Q\sin\alpha)^2+(P\sin\alpha-Q\cos\alpha)^2=P^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+Q^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=P^2+Q^2[/math]Получим очевидную оценку:[imath](P\cos\alpha+Q\sin\alpha)^2 \le P^2+Q^2, |P\cos\alpha+Q\sin\alpha|\le\sqrt{P^2+Q^2}[/imath]
Таким образом
[math]|P\cos\alpha+Q\sin\alpha|\le\sqrt{P^2+Q^2} \le max\sqrt{P^2+Q^2}=M[/math]Тогда сам интеграл [math]\left| \int\limits_C Pdx+Qdyds \right|\le \int\limits_C |Pdx+Qdy|ds\le LM[/math] отсюда следует, что: [math]\left| \int\limits_C Pdx+Qdy \right| \le LM[/math] что и требовалось доказать.
 
Сверху