Более простое решение 94 задачи

Номер задачи
#94

Семён

New member
Сообщения
10
Реакции
2
Можно сказать, что если наша последовательность сходится к [imath]A[/imath], и не все её члены равны [imath]A[/imath], то существует лишь конечное число членов, не входящих в любую эпсилон-окрестность точки [imath]A[/imath] (это очевидно из определения предела). Минимальный/максимальный элемент конечного множества членов последовательности, не равных [imath]A[/imath] и будет инфинумом/супремумом. Если что-то не так, поправьте меня 😄
 
Последнее редактирование модератором:

CMTV

Основатель
Команда форума
Сообщения
25
Решения
2
Реакции
2
Можно сказать, что если наша последовательность сходится к [imath]A[/imath], и не все её члены равны [imath]A[/imath], то существует лишь конечное число членов, не входящих в любую эпсилон-окрестность точки [imath]A[/imath] (это очевидно из определения предела).
Не совсем так. В определении предела нет никакой информации о членах [imath]x_n[/imath] до некоего [imath]n = N[/imath]. Вполне может оказаться, что и все члены [imath]x_n[/imath] до [imath]N[/imath] тоже вполне входят в [imath]\varepsilon[/imath]-окрестность, просто в определении речь идет только о членах [imath]x_n[/imath] уже после [imath]N[/imath].

Ваше суждение приводит к противоречию, ведь я могу брать сколь угодно большой [imath]\varepsilon[/imath] и, по вашей логике, всегда будет существовать "лишь конечное число элементов, не входящих в окрестность". Начиная с какого-то огромного [imath]\varepsilon[/imath] таких элементов может уже и не существовать — они все начиная с [imath]x_1[/imath] и далее будут в [imath]\varepsilon[/imath]-окрестности.

Пример: [imath]x_n = \frac{1}{n}[/imath]. Уже при [imath]\varepsilon = 2[/imath] все элементы этой последовательности будут в [imath]\varepsilon[/imath] окрестности [imath]0[/imath].

Минимальный/максимальный элемент конечного множества членов последовательности, не равных $A$ и будет инфинумом/супремумом.
Проблема в том, что мы не можем быть уверены, что это множество конечное. В том же примере [imath]x_n = \frac{1}{n}[/imath] стремится к [imath]0[/imath], но никогда его не достигает. То есть, имеем бесконечное число членов, которые не равны [imath]0[/imath].



Как-то так. Если я что-то не правильно понял из вашего сообщения, проясните :)
 

CMTV

Основатель
Команда форума
Сообщения
25
Решения
2
Реакции
2
Но вообще спасибо за указание на эту задачу. Решение слишком сложное, да к тому же расписано не до конца. Завтра утром упрощу.
 
Последнее редактирование:

Семён

New member
Сообщения
10
Реакции
2
Действительно, получается противоречие.

А как насчёт такого решения:
1) Последовательность сходится => она ограничена => существуют [imath]\inf[/imath] и [imath]\sup[/imath]. В силу единственности предела одна из точек [imath]\inf[/imath] или [imath]\sup[/imath] не является пределом. Без ограничения общности скажем, что это [imath]\sup[/imath] (конечно имеется ввиду [imath]\sup{x_n}[/imath])

2) Пусть [imath]\sup[/imath] не принадлежит множеству [imath]\{x_n\}[/imath]. Мы знаем, что существует [imath]\varepsilon[/imath]-окрестность точки [imath]\sup[/imath], в которой конечное число членов (так как [imath]\sup[/imath] по нашему определению не предельная точка). По предположению [imath]\sup[/imath] не является членом последовательности то есть нет таких [imath]x_n[/imath], что [imath]x_n= \sup[/imath], но тогда возьмем эпсилон меньше, чем расстояние самого близкого к [imath]\sup[/imath] члена и придём к противоречию: не выполняется определение супремума, т.е. для нашего эпсилон не найдётся [imath]x[/imath] такого, что [imath]x>\sup-\varepsilon[/imath]. Аналогично для инфинума
 
Последнее редактирование модератором:
  • Like
Реакции: CMTV

CMTV

Основатель
Команда форума
Сообщения
25
Решения
2
Реакции
2
Выглядит как отличный кандидат на новое решение.

Только надо строго прояснить вот это:
Мы знаем, что существует [imath]\varepsilon[/imath]-окрестность точки [imath]\sup[/imath], в которой конечное число членов (так как [imath]\sup[/imath] по нашему определению не предельная точка).

Как из того, что [imath]\sup[/imath] не является пределом следует то, что существует некоторая окрестность [imath]\sup[/imath], в которой имеется конечное число членов последовательности [imath]x_n[/imath]?
 

Семён

New member
Сообщения
10
Реакции
2
Пусть верно обратное: для любой окрестности точки s (для любого эпсилон > 0) в ней ∞ число членов последовательности. Что значит "∞ число членов последовательности ?" Это значит, что для любой окрестности точки s найдётся возрастающая последовательность индексов такая, что искы с этими индексами входят в окрестность (то есть просто каждому иксу из окрестности даём свой номер). Тогда точка s - частичный предел. А раз любому эпсилон соответствует подпоследовательность, сходящаяся к s, то s является предельной точкой. Противоретие. Возможно у меня странное доказательство, но кажется, что верность утверждения очевидна😄
 
Последнее редактирование модератором:

CMTV

Основатель
Команда форума
Сообщения
25
Решения
2
Реакции
2
для любой окрестности точки s (для любого эпсилон > 0) в ней ∞ число членов последовательности.
Не совсем так. На самом деле верным отрицанием будет: в любой окрестности [imath]\sup[/imath] лежит либо [imath]0[/imath], либо бесконечное число элементов последовательности. И как-то отсюда пытаться вывести противоречие...

Можно пойти по другому пути и воспользоваться определением предела с [imath]\varepsilon = \frac{\sup - A}{2}[/imath] ([imath]A[/imath] — предел). Тогда у нас получается бесконечное число элементов после [imath]N[/imath] в [imath]\varepsilon[/imath] окрестности [imath]A[/imath], причем все эти элементы строго меньше [imath]\sup[/imath], и конечное число элементов до [imath]N[/imath], для которых уже можно применить ваше рассуждение.

Проблема состоит в том, что к похожему, но еще более простому решению (без использования [imath]\sup[/imath]) пришел я вчера вечером, поэтому как отдельное решение это уже не подойдет)

Единственный вариант, показать как-то просто, что
Мы знаем, что существует [imath]\varepsilon[/imath]-окрестность точки [imath]\sup[/imath], в которой конечное число членов (так как [imath]\sup[/imath] по нашему определению не предельная точка).
Или сформулировать доказательство без привлечения этого суждения)
 

Семён

New member
Сообщения
10
Реакции
2
Не совсем так. На самом деле верным отрицанием будет: в любой окрестности [imath]\sup[/imath] лежит либо [imath]0[/imath], либо бесконечное число элементов последовательности. И как-то отсюда пытаться вывести противоречие...

Можно пойти по другому пути и воспользоваться определением предела с [imath]\varepsilon = \frac{\sup - A}{2}[/imath] ([imath]A[/imath] — предел). Тогда у нас получается бесконечное число элементов после [imath]N[/imath] в [imath]\varepsilon[/imath] окрестности [imath]A[/imath], причем все эти элементы строго меньше [imath]\sup[/imath], и конечное число элементов до [imath]N[/imath], для которых уже можно применить ваше рассуждение.

Проблема состоит в том, что к похожему, но еще более простому решению (без использования [imath]\sup[/imath]) пришел я вчера вечером, поэтому как отдельное решение это уже не подойдет)

Единственный вариант, показать как-то просто, что

Или сформулировать доказательство без привлечения этого суждения)
А из того, что s не является предельной точкой разве не следует, что в её окрестности конечное число элементов?

Не (в любой окрестности s ∞ число элементов) <=> (существует окрестность, в которой конечное число элементов)
 

CMTV

Основатель
Команда форума
Сообщения
25
Решения
2
Реакции
2
Нет, не следует. Не относитесь к "окрестности", как к чему-то постоянному. Окрестность мы можем взять любую :)

Например, возьмем [imath]x_n = \frac{1}{n}[/imath]. Пусть [imath]S = 10[/imath]. Возьмем [imath]\varepsilon = 10[/imath]. Тогда получаем окрестность от [imath]20[/imath] до [imath]0[/imath], в которую входит все бесконечное количество членов [imath]x_n[/imath].

Другое дело, показать, что существует некоторая конкретная окрестность точки [imath]S[/imath], такая, что начиная с какого-то номера [imath]N[/imath] члены [imath]x_n[/imath] уже не будут попадать в нее (так как стремятся не к [imath]S[/imath], а к другому числу). Тогда у нас как раз останется конечное число членов до [imath]N[/imath], которые могут (но не обязаны) оказаться в окрестности точки [imath]S[/imath].

Короче, идея воспользоваться свойством "сходится, значит ограничена" из #93 хорошая, но эта деталь с конечностью членов все портит.
 

Семён

New member
Сообщения
10
Реакции
2
Так я и утверждаю, что существует такая окрестность, что в ней конечное число членов, ведь это слудует из определения предельной точки. Какое там значение эпсилон нас не интересует, главное что оно найдётся :) в вашей последоваетльности 1/n, например, подойдёт любое эпсилон, меньшее 10
 
Последнее редактирование модератором:

CMTV

Основатель
Команда форума
Сообщения
25
Решения
2
Реакции
2
Добавил разбор к задаче.

Спасибо за предоставление более простого решения для задачи!

Правда, придется все же добавить прото-задачу, в которой доказывается эквивалентность классического определения предельной точки и определения через подпоследовательность у Демидовича. Займусь этим завтра.
 

Семён

New member
Сообщения
10
Реакции
2
Класс, а я сейчас пишу другое решение 99 задачи. А как будет время я смогу написать более простое доказательство просто задачи П12, ,
если оно конечно будет верным )
 
Последнее редактирование модератором:
  • Like
Реакции: CMTV
Сверху