Из чего следует?

Номер задачи
#144

Mr_Fortuna11

New member
Сообщения
2
Реакции
0
В пункте б) второго разбора задачи 144 написано следующее:

Докажем, что
$$ \lg\left( \frac{n+1}{n} \right) < \frac{1}{n} $$

Откуда взялась мысль, что логарифм будет меньше [imath]\frac{1}{n}[/imath]?
 
Последнее редактирование модератором:

CMTV

Основатель
Команда форума
Сообщения
22
Решения
2
Реакции
2
Рассмотрим внимательнее само выражение с логарифмом:

[math]\lg\left( \frac{n+1}{n} \right) = \lg\left( 1 + \frac{1}{n} \right)[/math]
Замечаем, что по мере увеличения [imath]n[/imath] выражение в скобках будет все ближе и ближе к [imath]1[/imath]. А мы знаем, что логарифм от [imath]1[/imath] с любым основанием равен [imath]0[/imath] (потому что любое число в [imath]0[/imath]-ой степени дает [imath]1[/imath]). С помощью этих простых рассуждений мы без всяких расчетов поняли, что предел будет равен [imath]0[/imath].

Но нам требуется строгое доказательство. Можно пойти по долгому пути и воспользоваться определением предела.

Нужно доказать, что какое бы положительное число [imath]\varepsilon[/imath] мы не взяли, всегда найдем такое натуральное [imath]N[/imath], что для него и всех остальных натуральных будет выполняться неравенство:

[math]\left| \lg\left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right| < \varepsilon[/math]
Знаки модуля можно снять, так как логарифм по основанию [imath]10[/imath] при любом натуральном [imath]n[/imath] будет положительным:

[math]\lg\left( 1 + \frac{1}{n} \right) < \varepsilon[/math]
Представим обе части неравенства в виде показателей степени с основанием [imath]10[/imath] (так как [imath]10 > 0[/imath], то знак неравенства не изменится):

[math]10^{\lg\left( 1 + \frac{1}{n} \right)} < 10^{\varepsilon} \\ 1 + \frac{1}{n} < 10^{\varepsilon} \\ \frac{1}{n} < 10^{\varepsilon} - 1[/math]
Изолируем [imath]n[/imath]:

[math]n > \frac{1}{10^{\varepsilon} - 1}[/math]
Итак, для любого наперед заданного [imath]\varepsilon[/imath] мы по неравенству выше можем найти такое натуральное [imath]n[/imath], что для него (и для всех натуральных больше него), по обратной цепочке рассуждений будет выполняться неравенство:

[math]\left| \lg\left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right| < \varepsilon[/math]
Итак, мы по определению предела доказали, что

[math]\lim\limits_{n\to\infty} \lg\left(1+\frac{1}{n}\right) = 0[/math]
[imath]\blacksquare[/imath]

Кстати, задача 41 как раз посвящена отработке нахождения значения предела по его определению:


Выглядит объемно, правда? Так вот, чтобы лишний раз не париться с неудобным доказательством через определение предела, лучше найти какую-нибудь простую последовательность, которая точно стремится к [imath]0[/imath], и "зажать" сверху нашу последовательность с логарифмом.

Прямо внутри скобок мы уже видим [imath]\frac{1}{n}[/imath], а это одна из самых элементарных бесконечно малых последовательностей. Остается лишь выяснить, действительно ли она "зажимает" нашу последовательность, то есть узнать знак следующего неравенства:

[math]\lg\left( 1 + \frac{1}{n} \right) \ ? \ \frac{1}{n}[/math]
Быстро выясняется, что наша догадка оказалась верной и мы со спокойной душой пользуемся теоремой о двух милиционерах.



Косвенно о необходимости использовать [imath]\frac{1}{n}[/imath] можно догадаться исходя из общей тесной связи между натуральными числами, гармоническим рядом, числом [imath]e[/imath], вторым замечательным пределом и логарифмами.



Спасибо за вопрос! Дополню текст решения и вынесу ответ на вопрос на странице задачи.
 
Сверху