Исправлено Ошибка в решении
- Автор темы Семён
- Дата начала
- Сообщения
- 25
- Решения
- 2
- Реакции
- 2
Действительно, половину задачи решил правильно, а вторую половину подтянул с #79.
Теперь, когда вы заметили ошибку, все усложняется
Итак...
Для начала заметим очень важную особенность: все скобки имеют вид [imath]1 + \alpha[/imath], где [imath]\alpha[/imath] — какое-то число. В пункте б) задачи #75 мы доказали, что для любого вещественного [imath]\alpha[/imath] выполняется неравенство:
[math]1 + \alpha < e^{\alpha}[/math]
Применительно к нашей задаче:
[math]1 + \frac{1}{2^n} < e^{\frac{1}{2^n}}[/math]
Пользуясь этим фактом, можно элементарно доказать по методу математической индукции, что:
[math]\left( 1 + \frac{1}{2} \right)\left( 1 + \frac{1}{4} \right)\ldots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) < e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^n}}[/math]
Обратим внимание на показатель степени числа [imath]e[/imath] в правой части неравенства. Замечаем, что он представляет собой сумму [imath]n[/imath] членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем, равными [imath]\frac{1}{2}[/imath]. Воспользуемся формулой суммы:
[math]\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1-\frac{1}{2^n}[/math]
Итак:
[math]e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^n}} = e^{1-\frac{1}{2^n}}[/math]
Дело за малым! Осталось показать, что
[math]e^{1-\frac{1}{2^n}} < e \\ e\cdot e^{-\frac{1}{2^n}} < e \\ \frac{1}{e^{\frac{1}{2^n}}} < 1 \\ 1 < e^{\frac{1}{2^n}}[/math]
Берем корень [imath]\frac{1}{2^n}[/imath] степени от обеих частей и получаем очевидно верное неравенство:
[math]1 < e[/math]
Итак, мы доказали, что
[math]e^{1-\frac{1}{2^n}} < e[/math]
А значит, возвращаясь по цепочке неравенств:
[math]\left( 1 + \frac{1}{2} \right)\left( 1 + \frac{1}{4} \right)\ldots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) < \underbrace{e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^n}}}_{\normalsize e^{1-\frac{1}{2^n}}} < e[/math]
[math]\left( 1 + \frac{1}{2} \right)\left( 1 + \frac{1}{4} \right)\ldots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) < e[/math]
Итак, наша последовательность [imath]x_n[/imath] ограничена сверху числом [imath]e[/imath].
Огромное спасибо, что сообщили про эту серьезную ошибку! Задачу на сайте дополню.
Насчет задачи #75, про которую вы спрашивали ранее. Отвечу немного позже, так как придется связаться с гуру
Теперь, когда вы заметили ошибку, все усложняется
Итак...
Для начала заметим очень важную особенность: все скобки имеют вид [imath]1 + \alpha[/imath], где [imath]\alpha[/imath] — какое-то число. В пункте б) задачи #75 мы доказали, что для любого вещественного [imath]\alpha[/imath] выполняется неравенство:
[math]1 + \alpha < e^{\alpha}[/math]
Применительно к нашей задаче:
[math]1 + \frac{1}{2^n} < e^{\frac{1}{2^n}}[/math]
Пользуясь этим фактом, можно элементарно доказать по методу математической индукции, что:
[math]\left( 1 + \frac{1}{2} \right)\left( 1 + \frac{1}{4} \right)\ldots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) < e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^n}}[/math]
Обратим внимание на показатель степени числа [imath]e[/imath] в правой части неравенства. Замечаем, что он представляет собой сумму [imath]n[/imath] членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем, равными [imath]\frac{1}{2}[/imath]. Воспользуемся формулой суммы:
[math]\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1-\frac{1}{2^n}[/math]
Итак:
[math]e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^n}} = e^{1-\frac{1}{2^n}}[/math]
Дело за малым! Осталось показать, что
[math]e^{1-\frac{1}{2^n}} < e \\ e\cdot e^{-\frac{1}{2^n}} < e \\ \frac{1}{e^{\frac{1}{2^n}}} < 1 \\ 1 < e^{\frac{1}{2^n}}[/math]
Берем корень [imath]\frac{1}{2^n}[/imath] степени от обеих частей и получаем очевидно верное неравенство:
[math]1 < e[/math]
Итак, мы доказали, что
[math]e^{1-\frac{1}{2^n}} < e[/math]
А значит, возвращаясь по цепочке неравенств:
[math]\left( 1 + \frac{1}{2} \right)\left( 1 + \frac{1}{4} \right)\ldots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) < \underbrace{e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^n}}}_{\normalsize e^{1-\frac{1}{2^n}}} < e[/math]
[math]\left( 1 + \frac{1}{2} \right)\left( 1 + \frac{1}{4} \right)\ldots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) < e[/math]
Итак, наша последовательность [imath]x_n[/imath] ограничена сверху числом [imath]e[/imath].
Огромное спасибо, что сообщили про эту серьезную ошибку! Задачу на сайте дополню.
Насчет задачи #75, про которую вы спрашивали ранее. Отвечу немного позже, так как придется связаться с гуру