Добавлено Решение 3954

Решение было принято и добавлено на проект "Демидович".
Номер задачи
#3954
Сообщения
13
Реакции
0
Переходя к полярным координатам, заменить двойной интеграл однократным.
[math]\iint\limits_{x^2+y^2 \le a^2}\sqrt{x^2+y^2}dxdy[/math]Cделаем замену в полярных координатах [math]x=\cos\varphi \\ y=\sin\varphi[/math]Найдем матрицу Якоби (Якобиан)
[math]J(r, \varphi) =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} \\[3pt] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\varphi & -r\, \sin\varphi \\ \sin\varphi & r\, \cos\varphi \end{bmatrix}= r[/math]Найдем пределы интегрирование : [math]0\le\varphi\le2\pi[/math] [math]x^2+y^2 \le a^2[/math] подставим [math]x=cos\varphi \\ y=sin\varphi[/math] и получим [math]r^2cos^2\varphi+r^2sin^2\varphi\le a^2= r^2\le a^2, r \ge 0, a \ge 0[/math] окончательно получим[math]r\le a[/math]Расставим пределы интегрирование: [math]\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^a\sqrt{r^2\cos\varphi+r^2\sin^2\varphi}|J|dr=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^ar^2dr=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \left. \frac{x^3}{3}\right|_0^a=\int\limits_0^{2\pi}\frac{a^3}{3}d\varphi=\left. \frac{a^3\varphi}{3} \right|_0^{2\pi}=\frac{2\pi a^3}{3}[/math]
 

Демидович

Бот
Команда форума
Сообщения
13
Реакции
0
Спасибо за предоставленное решение!
Ваше решение принято и появится на сайте проекта во время следующего обновления.
 
Сверху