Добавлено Решение 4222

[Руслан Оганов]

Вычислить следующие криволинейные интегралы 1-го рода
[math]\int\limits_Cy^2,[/math] где C - арка циклоиды [math]x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), 0\le t \le 2\pi[/math]
[math]\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt=a\sqrt{(1-\cos t)^2+sin^2 t }dt=2a\sin\frac{t}{2}dt[/math]то
[math]\int\limits_C y^2 dl= \int\limits_a^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt=2a^3 \int\limits_0^{2\pi}(1-\cos 2t)^2\sin\frac{t}{2}dt= -16a^3\int\limits_0^{2\pi}\left( 1-\cos^2\frac{t}{2}+\cos^4\frac{t}{2}\right)d \left( \cos\frac{t}{2}\right)=\frac{256}{15}a^3 [/math]

 

[Демидович]

Спасибо за предоставленное решение!
Ваше решение принято и появится на сайте проекта во время следующего обновления.

 

[CMTV]

Не могу говорить точно, так как эту тему не знаю, но желательно как-то назвать первую формулу (где корень из суммы квадратов). А то она из ниоткуда появляется, а затем пишем "то".

 

[Руслан Оганов]

Да, конечно.
Для вычисление криволинейного интеграла II-го рода требуется следующая формула: [math]{\int\limits_C {f\left( {x,y} \right)dS} } = {\int\limits_\alpha ^\beta {f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2}} dt} ;}[/math]Вот это можно вставить как пояснение

 

[CMTV]

Ок. Добавлю)

 

[Руслан Оганов]

Ой, ошибочка вышла: "Для вычисление криволинейного интеграла !!ПЕРВОГО!! рода требуется следующая формула"

 

[CMTV]

Добавил в качестве указания.