Руслан Оганов
New member
- Сообщения
- 8
- Реакции
- 0
Вычислить следующие криволинейные интегралы 1-го рода
[math]\int\limits_Cy^2,[/math] где C - арка циклоиды [math]x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), 0\le t \le 2\pi[/math]
[math]\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt=a\sqrt{(1-\cos t)^2+sin^2 t }dt=2a\sin\frac{t}{2}dt[/math]то
[math]\int\limits_C y^2 dl= \int\limits_a^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt=2a^3 \int\limits_0^{2\pi}(1-\cos 2t)^2\sin\frac{t}{2}dt= -16a^3\int\limits_0^{2\pi}\left( 1-\cos^2\frac{t}{2}+\cos^4\frac{t}{2}\right)d \left( \cos\frac{t}{2}\right)=\frac{256}{15}a^3 [/math]
[math]\int\limits_Cy^2,[/math] где C - арка циклоиды [math]x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), 0\le t \le 2\pi[/math]
[math]\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt=a\sqrt{(1-\cos t)^2+sin^2 t }dt=2a\sin\frac{t}{2}dt[/math]то
[math]\int\limits_C y^2 dl= \int\limits_a^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt=2a^3 \int\limits_0^{2\pi}(1-\cos 2t)^2\sin\frac{t}{2}dt= -16a^3\int\limits_0^{2\pi}\left( 1-\cos^2\frac{t}{2}+\cos^4\frac{t}{2}\right)d \left( \cos\frac{t}{2}\right)=\frac{256}{15}a^3 [/math]