Добавлено Решение 4298

Решение было принято и добавлено на проект "Демидович".
Номер задачи
#4298
Сообщения
8
Реакции
0
Применяя формулу Грина, вычислить следующий криволинейный интеграл:[math]\oint\limits_Cxy^2dy-x^2ydx,[/math] где [imath]\textit{С}[/imath] -окружность: [imath]x^2+y^2=a^2[/imath]
Применим формулу Грина: [math]\oint\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy[/math][math]\oint\limits_C \underbrace{xy^2}_Q dy\underbrace{-x^2y}_Pdx=\iint\limits_D \left( \frac{\partial (xy^2)}{\partial x} - \frac{\partial (-x^2y)}{\partial y} \right) \,dx\,dy=\iint\limits_D(x^2+y^2)dxdy[/math]Сделаем замену в полярных координатах [imath]x=rcos\varphi, y=rsin\varphi[/imath], якобиан=[imath]r[/imath]
[math]\iint\limits_D(r^2|J|)drd\varphi=\iint\limits_Dr^3drd\varphi[/math] Определим пределы интегрирование: [math]0\le \varphi\le2\pi,[/math] подставим нашу замену в уравнение окружности: [math]r^2\le a^2 (r>0) \Rightarrow 0\le r\le a[/math]Вычислим повторный интеграл
[math]\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^ar^3dr=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \left. \frac{r^4}{4}\right|_0^a=\frac{\pi a^4}{2}[/math]
 

Демидович

Бот
Команда форума
Сообщения
11
Реакции
0
Спасибо за предоставленное решение!
Ваше решение принято и появится на сайте проекта во время следующего обновления.
 
Сверху