Добавлено Решение. 455

Решение было принято и добавлено на проект "Демидович".
Номер задачи
#455
Сообщения
2
Реакции
0
Найти пределы: [imath]\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}.[/imath]
Решение:
Ставим единицу вместо [imath]x.[/imath] Тогда [imath]\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\frac{\sqrt[m]{1}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\left | \frac{0}{0} \right |.[/imath] Здесь неопределенность вида [imath]\left | \frac{0}{0} \right |[/imath]
Используем правило Лопиталя.
Правила Лопиталя следующие:
1615652934249.png
Найдем производную от числителя и знаменателя дроби. [imath](\sqrt[m]{x}-1){'}=\frac{1}{m}\cdot x^{\frac{1}{m}-1}=\frac{1}{m}\cdot x^{\frac{1-m}{m}}.[/imath]
[imath](\sqrt[n]{x}-1){'}=\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1-n}{n}}.[/imath]
Тогда [imath]\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{1}{m}\cdot x^{\frac{1-m}{m}}}{\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1-n}{n}}}=\frac{n}{m}\cdot\frac{1^{\frac{1-m}{m}}}{^{1^{\frac{1-n}{n}}}}=\frac{n}{m}\cdot \frac{1}{1}=\frac{n}{m}.[/imath]
Ответ: [imath]n/m.[/imath]
 

Демидович

Бот
Команда форума
Сообщения
13
Реакции
0
Спасибо за предоставленное решение!
Ваше решение принято и появится на сайте проекта во время следующего обновления.

Внесенные правки:
  • При нахождении производной убрано лишнее преобразование показателей из [imath]\frac{1}{m} - 1[/imath] в [imath]\frac{m-1}{m}[/imath]
 
Сверху